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高等数学(Ⅰ) Advanced Mathematics
课程代码： 20401104，20401105 一、教学目的 高等数学（Ⅰ）是理工类专业学生必修的基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密，逻辑推理更加严格，今后在处理较复杂的问题时，可以做到条理清楚，思路明晰。在传授知识的同时，要通过各个教学环节培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。还要特别注意培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。 二、教学内容、教学目标及学时分配 第一章 函数与极限（14学时） 理解函数的概念、掌握函数的单调性、周期性和奇偶性；了解反函数的概念；熟练掌握基本初等函数的性质和复合函数的概念；能将简单实际问题中的函数关系表达出来；能正确应用极限四则运算法则；掌握两个极限准则，会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较；掌握函数在一点连续和间断的概念；掌握初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的性质。 1．映射与函数 2．数列的极限， 3．函数的极限 4．无穷小与无穷大 5．极限运算法则 6．极限存在准则，两个重要极限 7．无穷小的比较 8．函数的连续性与间断点 9．连续函数的运算与初等函数的连续性 10．闭区间上连续函数的性质 第二章 导数与微分（14学时） 理解导数和微分的概念，能用导数描述一些物理量；了解函数可导性与连续性的关系；熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式的不变性）以及导数的基本公式；能熟练计算初等函数的一阶、二阶导数；会用定义讨论分段函数在分断点处的可导性；会求隐函数的导数；会求由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。 1． 导数概念 2． 函数的求导法则 3．高阶导数 4．隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 5．函数的微分 第三章 微分中值定理与导数的应用（14学时） 掌握罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理；了解泰勒公式；理解函数的极值的概念；熟练掌握导数的应用；会用导数求函数的极值、判断函数的单调性、凹凸性；会求曲线的渐近线和拐点；会作函数的图形；会解决应用中的简单的最大值和最小值问题；掌握应用罗必塔法则求未定式的极限；知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 1．微分中值定理 2．洛必达法则 3．泰勒公式 4．函数单调性与曲线的凹凸性 5．函数的极值与最大值、最小值 6．函数图形的描绘 7．曲率 8．方程的近似解 第四章 不定积分（14学时） 理解不定积分的概念；熟悉不定积分的基本公式；熟练掌握不定积分的两类换元法和分部积分法；知道有理函数的积分法和能够通过变量代换化成有理函数的积分的方法。 1．不定积分的概念与性质 2．换元积分法 3．分部积分法 4．有理函数的积分 5．积分表的使用 第五章 定积分（12学时） 理解定积分的概念；熟悉定积分的基本公式；熟练掌握定积分的换元法和分部积分法；掌握变上（下）限函数及其性质；熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式；了解广义积分的概念，并会计算广义积分。 1．定积分的概念与性质 2．微积分基本公式 3．定积分的换元法及分部积分法 4．反常积分 第六章 定积分的应用（10学时） 会灵活应用定积分的元素法来表达一些较简单的几何量和物理量，如面积、体积、弧长、功、水压力和引力等。 1．定积分的元素法 2．定积分在几何学上的应用 3．定积分在物理学上的应用 第七章 空间解析几何与向量代数（12学时） 理解向量的概念；熟悉向量的运算，两个向量夹角的求法及垂直和平行的条件；熟悉单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式，并能熟练地利用坐标表达式进行向量的运算；熟悉平面方程与直线方程，并能根据已知条件求平面方程和直线方程；理解曲面方程的概念，能根据二次曲面的标准方程作出它的图形；知道空间曲线的参数方程、一般方程及以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面。 1．向量及其线性运算 2． 数量积、向量积 3． 曲面及其方程 4．空间曲线及其方程 5．平面及其方程 6．空间直线及其方程 第八章 多元函数微分法及其应用（18学时） 理解点集、邻域、区域、多元函数等概念；掌握二元函数的极限与连续性等概念及在有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数、全微分等概念；知道全微分存在的充分条件；掌握复合函数与隐函数的求导法则；会求高阶偏导数；会求曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线；理解多元函数极值及条件极值的概念；会用极值存在必要条件求极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；并会求解一些与实际有关的极值问题。 1．多元函数的基本概念 2．偏导数 3．全微分 4．多元复合函数的求导法则 5．隐函数的求导公式 6．多元函数微分学的几何应用 7．方向导数与梯度 8．多元函数的极值及其求法 第九章 重积分（18学时） 理解二重积分、三重积分的概念；了解重积分的性质；掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）及三重积分计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；能应用元素法把一些几何问题、物理问题表达成重积分，如平面薄片的质量、空间立体的体积、物体的转动惯量等。 1．二重积分的概念与性质 2．二重积分的计算法 3．三重积分 4．重积分的应用
第十章
曲线积分与曲面积分（18学时） 1．对弧长的曲线积分 2．对坐标的曲线积分 3．格林公式及其应用 4．对面积的曲面积分 5．对坐标的曲面积分 6．高斯公式，通量与散度 7．斯托克斯公式，环流量与旋度 第十一章 无穷级数（18学时）
理解级数收敛和发散的概念以及收敛级数的和的概念，知道级数收敛的必要条件和级数的基本性质；能利用几何级数和P级数与正项级数的比较审敛法来判定级数的敛散性；熟练掌握正项级数的比值及根值审敛法；会运用莱布尼兹准则来判定交错级数的收敛性，并能估计交错级数的截断误差；会利用级数的绝对收敛性来判定任意项级数的收敛性；能熟练地求出幂级数的收敛区间及讨论级数在端点处的敛散性。知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；知道函数的泰勒级数、知道函数的泰勒级数收敛到该函数的充要条件；能记住ex,
sinx, cosx, ln (1+x)和(1+x) 1．常数项级数的概念和性质 2．常数项级数的审敛法 3．幂级数 4．函数展开成幂级数 5．函数的幂级数展开式的应用 6．傅立叶(Fourier)级数 7．正弦级数和余弦级数 8．一般周期函数的傅立叶(Fourier)级数 第十二章 微分方程（18学时）
了解微分方程、通解、初始条件和特解等基本概念；会识别下列几种一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、齐次方程和全微分方程；熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解齐次方程和伯努利方程并通过解法了解用变量代换求解方程的思想；会解全微分方程；知道下列几种特殊的高阶方程的降价法：y(n)＝f(x),
y''＝f(x, y')和y''＝f(y,
y')；掌握二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶线性常系数齐次方程的解法并知道高阶线性常系数齐次方程的解法；熟练掌握自由项f(x)为：Pn(x),
Aex， 1．微分方程的基本概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．全微分方程 6．可降阶的高阶微分方程 7．高阶线性微分方程 8．常系数齐次线性微分方程 9．常系数非齐次线性微分方程 10．微分方程的幂级数解法 三、课程教学的基本要求 本课程的教学环节主要包括:课堂讲授、习题课及课外作业。重点培养学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力。 （一）课堂讲授 主要教学方法： 采用启发式教学，鼓励和培养学生自学能力。让学生明确高等数学知识在各自专业中的重要作用，可以举一反三。 原则性建议：在条件允许下，介绍Mathematica软件的使用。 （二）其它教学环节 1．习题课：计划每章各有一次（但主要根据学生的掌握情况而定）。 2．作业：主要以计算题、证明题为主。 3．考试：期末考试主要采取闭卷考试形式。试题类型为：填空题、选择题、是非题、计算题、证明题和应用题等。 四、建议教材与教学参考书 [1] 同济大学应用数学系主编，《高等数学》第五版，高等教育出版社，2002年7月。 [2] 同济大学数学教研室主编，《高等数学》第四版，高等教育出版社，2002年7月（重印）。 [3] 惠淑荣等主编，《高等数学》第二版，中国农业出版社，2006年8月。 五、本课程与其它课程的联系与分工 本课程为理工类专业后续课程奠定基础。 六、教学大纲修订说明 由于理工科高等数学由原来的160学时增加为180学时，本大纲更注重高等数学在解决实际问题中的应用及其做为一门工具学科的基础地位。本大纲更加强调微分及积分的应用。本大纲与旧大纲相比更注重实用及与专业课的衔接，同时在教学过程注意对学生智能的培养，强调素质教育。
高等数学（II）Advanced Mathematics
课程代码：20401106，20401107 一、教学目的 高等数学（II）是经济、管理类专业学生必修的基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密、逻辑推理更加严格。通过高等数学的学习，培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，最后使学生具有抽象概括问题和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。 二、教学内容、教学目标及学时分配 第一章 函数、极限（12学时）
理解函数的概念；掌握函数的单调性、周期性和奇偶性；了解反函数的概念；熟练掌握基本初等函数的性质和复合函数的概念；能正确应用 1．函数 2．数列的极限 3．函数的极限 4．无穷小与无穷大 5．极限的运算法则 6．两个重要极限 7．无穷小的比较 8．函数的连续与间断 9．初等函数的连续性 第二章 导数与微分（14学时）
理解导数和微分的概念；了解函数的可导性与连续性的关系；熟悉导数和微分的运算法则以及导数的基本公式；会求隐函数的导数及由参 1．导数概念 2．几个基本初等函数的导数 3．函数的和、差、积、商的导数 4．反函数的求导法则 5．复合函数的求导法则 6．高阶导数 7．隐函数的导数 8．由参数方程所确定的函数的导数 9．微分的概念 10．微分的应用 11.微积分在经济问题中的应用 第三章 微分中值定理及导数的应用（14学时）
掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解泰勒公式；熟练掌握罗必塔法则；会用导数求函数的极值；判断函数的单调性、凹凸性；会求曲 1．微分中值定理 2．罗必塔（L'Hospital）法则 3．泰勒（Taylor）公式 4．函数单调性的判定 5．函数的极值及其求法 6．函数的最大值与最小值及其应用 7．曲线的凸凹性及拐点 8．曲线的渐近线 9．函数作图 第四章 不定积分（12学时） 理解不定积分的概念；熟悉不定积分的基本公式；熟练掌握不定积分的两类换元法和分部积分法。 1．不定积分的概念与性质 2．换元积分法 3．分部积分法 4．几种特殊类型函数的积分举例 5．积分表的使用 第五章 定积分及其应用(12学时)
理解定积分的概念及其几何含义；熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式及定积分的换元公式；掌握变限函数及其性质；会应用定积分的元素法将一 1．定积分概念 2．定积分的性质 3．微积分学基本定理 4．定积分的计算 5．定积分的近似计算 6．定积分的应用 7．广义积分 第六章 空间解析几何（10学时） 熟悉空间直角坐标系；掌握向量的线性运算及向量的数量积、向量积运算；了解平面方程、直线方程和简单的二次曲面方程。 1．空间直角坐标系 2．空间向量 3．向量的坐标 4．数量积 5．向量积 6．平面及其方程 7．空间直线及其方程 8．曲面与曲线 第七章 多元函数的微分法（14学时） 掌握多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念；熟练掌握复合函数的微分法；会应用偏导数求函数的极值；了解条件极值及其求法。 1．二元函数的概念 2．二元函数的极限与连续 3．偏导数 4．全微分 5．多元复合函数及其微分法 6．隐函数及其微分法 7．多元函数的极值 第八章 二重积分（10学时） 掌握二重积分的概念及性质；熟练二重积分的计算；会用元素法将一些简单的几何量（如面积、体积）表达成二重积分。 1．二重积分的概念与性质 2．二重积分的计算法 3．二重积分应用举例 第九章 微分方程（10学时）
了解微分方程的基本概念；会求可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、三种类型可降阶的微分方程；知道二阶线性微分方程解的结 1．微分方程的基本概念 2．一阶微分方程 3．可降阶的二阶微分方程 4．二阶常系数线性微分方程
第十章 无穷级数（10学时）
高等数学（Ⅲ）Advanced Mathematics
课程代码：20401106，20401107 一、教学目的 高等数学（Ⅲ）是农林类专业学生必修的基础课。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论、基本方法，同时通过高等数学教学，让学生的思维更加严密，逻辑推理更加严格。通过高等数学的学习培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。最后使学生具有抽象概括问题和综合运用知识来分析解决实际问题的能力。 二、教学内容、教学目标及学时分配 第一章 函数、极限（12学时）
理解函数的概念；掌握函数的单调性、周期性和奇偶性；了解反函数的概念；熟练掌握基本初等函数的性质和复合函数的概念；能正确应用 1．函数 2．数列的极限 3．函数的极限 4．无穷小与无穷大 5．极限的运算法则 6．两个重要极限 7．无穷小的比较 8．函数的连续与间断 9．初等函数的连续性 第二章 导数与微分（12学时）
理解导数和微分的概念；了解函数的可导性与连续性的关系；熟悉导数和微分的运算法则，以及导数的基本公式；会求隐函数的导数及由参 1．导数概念 2．几个基本初等函数的导数 3．函数的和、差、积、商的导数 4．反函数的求导法则 5．复合函数的求导法则 6．高阶导数 7．隐函数的导数 8．由参数方程所确定的函数的导数 9．微分的概念 10．微分的应用 第三章 微分中值定理及导数的应用（12学时）
掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、了解泰勒公式；熟练掌握罗必塔法则，会用导数求函数的极值；判断函数的单调性、凹凸性；会求曲线 1．微分中值定理 2．罗必塔（L'Hospital）法则 3．泰勒（Taylor）公式 4．函数单调性的判定 5．函数的极值及其求法 6．函数的最大值与最小值及其应用 7．曲线的凸凹性及拐点 8．曲线的渐近线 9．函数作图 第四章 不定积分（10学时） 理解不定积分的概念；熟悉不定积分的基本公式；熟练掌握不定积分的两类换元法和分部积分法。 1．不定积分的概念与性质 2．换元积分法 3．分部积分法 4．几种特殊类型函数的积分举例 5．积分表的使用 第五章 定积分及其应用(10学时)
理解定积分的概念及其几何含义；熟练掌握牛顿－莱布尼兹公式及定积分的换元公式；掌握变限函数及其性质；会应用定积分的元素法将一 1．定积分概念 2．定积分的性质 3．微积分学基本定理 4．定积分的计算 5．定积分的近似计算 6．定积分的应用 7．广义积分 第六章 空间解析几何（6学时） 熟悉空间直角坐标系；掌握向量的线性运算及向量的数量积、向量积运算；了解平面方程、直线方程和简单的二次曲面方程。 1．空间直角坐标系 2．空间向量 3．向量的坐标 4．数量积 5．向量积 6．平面及其方程 7．空间直线及其方程 8．曲面与曲线 第七章 多元函数的微分法（12学时） 掌握多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念；熟练掌握复合函数的微分法；会应用偏导数求函数的极值；了解条件极值及其求法。 1．二元函数的概念 2．二元函数的极限与连续 3．偏导数 4．全微分 5．多元复合函数及其微分法 6．隐函数及其微分法 7．多元函数的极值 第八章 二重积分（8学时） 掌握二重积分的概念及性质；熟练二重积分的计算；会用元素法将一些简单的几何量（如面积、体积）表达成二重积分。 1．二重积分的概念与性质 2．二重积分的计算法 3．二重积分应用举例 第九章 微分方程（8学时）
了解微分方程的基本概念；会求可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程、三种类型可降阶的微分方程；知道二阶线性微分方程解的结 1．微分方程的基本概念 2．一阶微分方程 3．可降阶的二阶微分方程 4．二阶常系数线性微分方程
第十章
无穷级数（自学） 本课程的教学环节主要包括:课堂讲授、习题课及课外作业。重点培养学生的自学能力、分析问题和解决问题的能力。 （一）课堂讲授 主要教学方法： 采用启发式教学，鼓励和培养学生自学能力，让学生明确高等数学知识在各自专业中的重要作用可以举一反三。 原则性建议：在条件允许情况下，介绍Mathematica软件的使用。 （二）其它教学环节 1．习题课：计划每章各有一次,但主要根据学生的掌握情况而定。 2．作业：主要以计算题和证明题为主。 3．考试：期末考试主要采取闭卷考试形式。试题类型为：填空题、选择题、判断题、计算题、证明题、应用题等。 四、建议使用教材及教学参考书
[1]惠淑荣、李喜霞主编
，《高等数学》第二版，中国农业出版社，2006年8月。 |
